Capítulo 14 El campo magnético de varias situaciones

En este capítulo se desentrañara un gran misterio concerniente a la simetría propuesta entre la electricidad y el magnetismo estáticos: ¿es posible que exista un análogo magnético para el potencial escalar, visto anteriormente, del cual se puedan obtener expresiones lo más general posible para los campos magnéticos? Sí, no, ¿porqué? Todo esto se sabrá gracias a la utilización de poderosas herramientas matemáticas.

 

¿Un Potencial Vectorial?

En general, magnetostática tiene sabor a corrientes constantes. Y esto es importante porque las expresiones que describen a los fenómenos estáticos del magnetismo son las ecuaciones de Maxwell vistas antes:

   \nabla \cdot \vec{B} = 0 (1)

 

   c^{2} \nabla \times \vec{B} = \frac{\vec{j}}{\epsilon_{0}} (2)

 

Ahora bien, si tenemos las ecuaciones, ¿cuáles son sus soluciones? esto es, ¿cuáles son las expresiones para el campo magnético B que dan dichos resultados? A dicho objetivo, le agregamos los gustosos que somos en complicarnos la vida, para que valga en verdad la pena, buscaremos aquellas soluciones que sean independientes de cuestiones un tanto triviales como pudiera ser el caso de simetrías –el acomodo ordenado de corrientes- o aquellas otras de simple intuición -que con ver el problema ya sepamos una posible solución- Nos arriesgaremos a buscar algo que generalice de manera extensa todas las soluciones, para que así puedan existir los ya famosos casos especiales. Vayamos por partes.

Empecemos analizando la ecuación

 \nabla \cdot \vec{B}=0

En electrostática vimos que como el rotacional de E era siempre cero, por artilugios del cálculo vectorial de los primeros capítulos era posible representar al dicho campo E como el gradiente de un campo escalar φ. ¿Qué pasa con lo magnético? Pues que la ecuación arriba mencionada indica que B está en términos de un rotacional, sólo así, la divergencia de un rotacional es cero siempre, en otras palabras, que podemos relacionar al campo magnético B con otro campo, al que lo bautizamos con la letra A, de tal manera que si proponemos como solución:

    \vec{B} = \nabla \times \vec{A} (3) 

 

entonces

   \nabla \cdot \vec{B} = \nabla \cdot(\nabla \times \vec{A} )= 0 (4) 

 

cumple satisfactoriamente.

Dado que el rotacional de dos vectores da un vector, escribimos las componentes vectoriales:

B_{x}= (\nabla \times \vec{A})_{x}= \frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z},

B_{y}= (\nabla \times \vec{A})_{y}= \frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x},

B_{z}= (\nabla \times \vec{A})_{z}= \frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y}

Y como en el caso eléctrico, al campo bautizado como A le llamamos Potencial Vectorial de B. El hecho de que tenga el adjetivo de vectorial proviene de su naturaleza en las ecuaciones: fue propuesto como un vector, no puede ser un número solamente, la operación \nabla \times \vec{A} es propia entre vectores. Las cosas se complican.

Siguiendo con las analogías eléctricas, se había encontrado que si teníamos un potencial escalar φ para un problema específico, podíamos encontrar siempre otro potencial φ’ igualmente útil agregando solamente una constante:

φ’ = φ + C

¿Cómo es posible que se obtengan los mismos resultados? Pues claramente al momento de obtener divergencias, \nabla C es igual a cero (la derivada de un vector constante), por lo que φ y φ’ son iguales. Esta propiedad matemática tan simplona pero tan fundamental, ¿se hereda al nuevo potencial vectorial A? ¡Claro! Y se ve en el hecho de que como B se obtiene de A por diferenciación, si le agregamos una constante ¡no pasa absolutamente nada! Ahora bien, existe más por explotar en este ambiente. ¿Qué pasa si en lugar de agregarle una simple e inocente constante, le agregamos el gradiente de algún campo escalar? ¿alterará la física? ¿obtendremos resultados diferentes? Despejemos dudas.

Comencemos con un potencial vectorial A que sea el artífice de un campo B en determinada situación y nos preguntamos ahora bajo qué condiciones, otro potencial vectorial A’, da el mismo campo magnético B. Entonces:

  \vec{B} = \nabla \times \vec{A'}= \nabla \times \vec{A} (5) 

por lo tanto

  \nabla \times \vec{A'} - \nabla \times \vec{A}= \nabla \times (\vec{A'} - \vec{A})=0. (6) 

 

Eureka! Si el rotacional de un vector es cero entonces debe ser el gradiente de algo, como por ejemplo, de algún campo escalar ψ –esta película ya se vio, ya que fue el argumento para encontrar al propio potencial vectorial A– . Así que \vec{A'} - \vec{A} = \nabla \psi, lo que significa que si tenemos un A que cumpla para un problema, entonces para cualquier ψ

  \vec{A'}= \vec{A} +  \nabla \psi (7) 

 

y A’ también cumple, para el mismo campo B. Por el momento, no confundir \nabla \psi con el campo escalar eléctrico φ, \nabla \psi es cualquier campo escalar.

A estas alturas, ¿quedan más trucos matemáticos por ver? Pues ahora presenciaremos nada más y nada menos que una cirugía operacional matemática estilo trasplante de corazón. El hecho de que hayamos deducido un potencial vectorial implica que posea ciertas propiedades matemáticas y físicas. ¿Qué propiedades debe cumplir A para que no altere lo que se ha encontrado? Podemos restringir las múltiples posibilidades escogiendo libremente y por conveniencia lo que en su caso, la propia divergencia de A deba ser. Libremente y por conveniencia implica lógica y simplicidad, así por ejemplo, podemos decidir que el potencial escalar eléctrico φ sea cero a muy grandes distancias -cero en el infinito-; esto es simple, es lógico y funciona. Ahora bien, el que podamos hacer y deshacer, jugar con las expresiones de A, radica en que A y A’ poseen el mismo rotacional, o sea, que sus derivadas parciales son iguales. Operemos entonces:\nabla \cdot \vec{A'} = \nabla \cdot \vec{A} + \nabla^{2} \psi . Quedamos que ψ puede ser cualquier campo, su rotacional será cero de todos modos… entonces, ¿qué queda por escoger para \nabla \cdot \vec{A}? Estrictamente hablando, la elección debe ser tal que se consiga la mayor conveniencia matemática –esto es, que simplifique cálculos y nos ahorre gastos en tinta y papel- y su versatilidad dependerá del problema que se trate. Para magnetostática, se elige

  \nabla \cdot \vec{A} =0 (8) 

 

Pero cuando se aborde electrodinámica, se tendrá que cambiar de elección porque sencillamente, no conviene.

Resumiendo:

  \nabla \times \vec{A} = \vec{B} (9) 

 

  \nabla \cdot \vec{A} =0 (10) 

 

Teniendo juguete nuevo, invitemos unos cuates a jugar. Hagamos un ejemplo sobre lo que es el potencial vectorial para un campo B0 que tiene dirección sobre el eje z.

De acuerdo con la expresión B = \nabla \times A = B_{0} las derivadas parciales quedan:

B_{x}= (\nabla \times \vec{A})_{x}= \frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z}=0

B_{y}= (\nabla \times \vec{A})_{y}= \frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x}=0

B_{z}= (\nabla \times \vec{A})_{z}= \frac{\partial A_{y}}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}}{\partial y}= B_{0}.

Obsérvese que una posible solución es que

A_{y}=xB_{0}, \;\;\;\;\;A_{x}=0\;\;\;\;\;A_{z}=0

pero también podría ser que

A_{x}=-yB_{0}, \;\;\;\;\;A_{y}=0\;\;\;\;\;A_{z}=0

 
aún así, podemos hacer una combinación lineal de las dos anteriores soluciones y continúa siendo solución (linealidad de la solución)

 

A_{x}=-\frac{1}{2}yB_{0}, \;\;\;\;\;A_{y}=\frac{1}{2}xB_{0}\;\;\;\;\;A_{z}=0.

Nótese que para un campo magnético B en particular, existen varias posibilidades para el potencial vectorial A. Ahora bien, la tercera solución tiene un trasfondo interesante: las componentes x y y de A son proporcionales a y y a x, respectivamente, por lo que debe ser tangente al vector r que viene desde el origen –no confundir con el vector r de posición- entonces queda que la magnitud del potencial es proporcional a \sqrt{x^{2} +y^{2}} y por lo tanto, A puede ser escrito como

A=\frac{1}{2}B \times r'

Para este ejemplo, el potencial vectorial rota alrededor del eje z, ver la figura 1. Si estuviéramos hablando del campo generado dentro de un solenoide, el potencial vectorial circularía en la misma dirección que lo hace la corriente.

Figura 1. Un campo mangético uniforme B en la dirección del eje x corresponde a un potencial vectorial A que rota alrededor del eje z con una magnitud A = Br‘ / 2 / donde r’ es el desplazamiento del eje z.

Esta deducción un tanto geométrica se puede obtener de otra manera. Recurriremos al cálculo afirmando que la circulación de A sobre cualquier trayectoria cerrada Γ puede ser relacionada a una integral de superficie de acuerdo con el teorema de Stokes:

\oint_{\Gamma}\vec{A} \cdot d\vec{s} = \int_{superficie\;de\;\Gamma}(\nabla \times \vec{A}) \cdot  d\vec{s} (11) 

 

Pero como B=\nabla \times A, la integral queda:

  \oint_{\Gamma}\vec{A} \cdot d\vec{s} = \int_{superficie\;de\;\Gamma}\vec{B} \cdot  d\vec{s} (12) 

 

el término de la derecha corresponde al flujo de B, así que la circulación de A alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual al flujo de B a través de dicha trayectoria. Una muy útil expresión. ¿Qué pasa si tomamos una trayectoria circular de radio r? Pues que el flujo es

πr‘2B

y si ponemos al origen como eje de simetría, la circulación de A sobre la trayectoria circular queda

  \oint \vec{A} \cdot d\vec{s} = 2 \pi r' A = \pi r^{'2} B  

 

Simplificando obtenemos

A=\frac{B r'}{2}

igual que el resultado anterior.

Conclusión: en este primer ejemplo se calculó el potencial vectorial a partir del campo magnético, hecho que es totalmente opuesto a lo que usualmente se hace ya que para casos más complicados –menos bonitos, más reales- es usual resolver el potencial vectorial y a partir de allí encontrar al campo magnético. En la siguiente sección se verá más a fondo cómo se hace y se darán unos ejemplos.

 

 

Por otro camino

Ahora trabajaremos con la otra ecuación de Maxwell para el magnetismo estático que relaciona al campo magnético B con la densidad de corriente j.

  c^{2} \nabla \times \vec{B}= \frac{\vec{j}}{\epsilon_{0}}. (13) 

 

El potencial vectorial A también estará en función de la corriente, ya que proviene de B, por lo que nuestro objetivo es encontrar una expresión para A que lo relacione con las corrientes.

¿Por dónde empezamos? Pues, por lo que sabemos: B = \nabla \times A

  c^{2} \nabla \times (\nabla \times \vec{A})= \frac{\vec{j}}{\epsilon_{0}} (14) 

 

Viene a nuestra mente el caso electrostático:

  \nabla \cdot \nabla \phi= -\frac{\rho}{\epsilon_{0}} (15) 

 

que es otra de tantas analogías magnético-eléctricas.

Recordando la identidad vectorial

\vec{A} \times ( \vec{B} \times \vec{C} )= \vec{B}( \vec{A} \cdot  \vec{C} ) - ( \vec{A} \cdot \vec{B} )\vec{C}

Sustituimos en la ecuación (14) y obtenemos

  \nabla \times (\nabla \times \vec{A})= \nabla(\nabla \cdot \vec{A})- \nabla^{2}\vec{A} (16) 

 

¿Y que hacemos ahora? Bien, pues como anteriormente se escogió \nabla \times A = 0 (ahora se ve bien por qué) la ecuación anterior se transforma a

  \nabla^{2} \vec{A} = -\frac{\vec{j}}{\epsilon_{0} c^{2}} (17) 

 

¡Toda una fiera! Esta ecuación vectorial encapsula tres ecuaciones –una por componente- así

  \nabla^{2} A_{x} = -\frac{j_{x}}{\epsilon_{0} c^{2}},\;\;\;\;\;\nabla^{2} A_{y} = -\frac{j_{y}}{\epsilon_{0} c^{2}},\;\;\;\;\;\nabla^{2} A_{z} = -\frac{j_{z}}{\epsilon_{0} c^{2}} (18) 

 

Ahora, estas ecuaciones son matemáticamente idénticas a la ecuación de Poisson electrostático:

\nabla^{2} \phi = - \frac{\rho}{\epsilon_{0}}

la cual, si se conoce la densidad de carga ρ, tiene como solución

\phi(1)= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \frac{\rho(2)dv_{2}}{r_{12}}
Así que inmediatamente deducimos una solución para la componente x del potencial vectorial:

  A_{x}(1)= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}c^{2}} \int \frac{j_{x}(2)dv_{2}}{r_{12}} (19) 

 

El principio usado es que la misma componente x del potencial vectorial A que emerge de una densidad de corriente j es la misma que el potencial eléctrico φ que podría ser producido por una densidad de carga \rho = \vec{j}/c^{2}, igualmente para las otras componentes.

Similarmente para la componente Ay y Az por lo que la forma vectorial queda:

  \vec{A}(1)= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}c^{2}} \int \frac{\vec{j}(2)dv_{2}}{r_{12}} (20) 

 

Esta ecuación corresponde un paso para encontrar el campo magnético B, ya que con saber las densidades de corrientes, encontramos el potencial en cada componente, luego aplicamos la expresión \nabla \times  A = B y hemos terminado.

Advertencia: Este camino de análisis y deducción de expresiones para encontrar un método que relacione densidad de corriente-potencial vectorial-campo magnético tiene una muy ligera sutileza. Recuerdo claramente cómo en un problema visto en clase, se llegó a dos resultados completamente diferentes para encontrar el potencial vectorial: utilizando la ecuación (20) la integral se iba a infinito mientras que el resultado tenía que ser algo finito –solución del libro-. ¿Qué andaba mal si se suponía que se había encontrado una ecuación confiable directamente de las ecuaciones de Maxwell?

Bueno, pues primeramente, la ecuación (20) no es para nada general. Dicha ecuación es solución de la ecuación diferencial ecuación (17) que corresponde a una ecuación de Poisson y que la solución de dicha ecuación dependerá de las condiciones de frontera del problema, esto es, de las condiciones particulares con las que se lleguen a trabajar. Así pues, un detalle importante que se pasa por alto es que se da por hecho que en todos, absolutamente todos los problemas, \nabla \cdot A = 0 en el infinito, cosa que no siempre es cierta y habrá que tener especial atención en ello. Es cuestión de evaluar el potencial resultante antes de seguir procediendo. Así pues, la ecuación general que llene el vacío intelectual que se pudo haber creado será

  \nabla^{2} \vec{A} = -\frac{\vec{j}}{\epsilon_{0} c^{2}} (17) 

 

Caso 1: Un alambre infinito

Poseemos ya útiles herramientas para calcular potenciales magnéticos. Revisaremos el ejemplo del alambre que lleva corriente utilizando el formalismo que hemos encontrado en las expresiones antes mencionadas.

 

Figura 2. Un alambre infinito sobre el eje z con una densidad de corriente uniforme j

 

Imaginemos un alambre de 20 millones de kilómetros de largo, más o menos infinito, que tiene radio a y que lleva una corriente uniformemente distribuida I en su interior. Si escogemos el marco de referencia como en la figura; el vector de densidad de corriente tendrá sólo componente z y su magnitud será, dada la ecuación de para una corriente:

I = \int \vec{j} \cdot d\vec{a}

entonces

j_{z}= \frac{I}{\pi a^{2}}

dentro del alambre y cero fuera de el. Dado que jx y jy son cero, sus integrales también lo son y por lo tanto, las componentes del potencial vectorial Ax y Ay son ambas cero. ¿Qué pasó con Az? Podemos recurrir a nuestro análogo electrostático: pensemos en una densidad de carga ρ = jz / c2 sobre el alambre y calculando el potencial eléctrico de ese mismo alambre obtenemos

\phi = -\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln{r'}

Donde r’ es la magnitud de la distancia \sqrt{x^{2}+y^{2}} y λ es la carga por unidad de longitud, o sea, λ = πa2ρ. Así que Az debe ser

A_{z}= \frac{\pi a^{2} j_{z}}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \ln{r'}

Pero como I = πa2jz, tenemos que

  A_{z}= \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \ln{r'} (21) 

 

Ahora podemos encontrar el campo magnético de la expresión B = \nabla \times  A, que en componentes queda:

B_{x}= - \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{\partial}{\partial y} \ln{r'}= - \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{y}{r^{'2}}

B_{y}= \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{\partial}{\partial x} \ln{r'}= \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{x}{r^{'2}}

Bz = 0

Obtuvimos el mismo resultado para B que antes: el campo magnético está alrededor del alambre en círculos con centro en el eje del alambre y posee magnitud de

  B= \frac{I}{2 \pi \epsilon_{0} c^{2}}\frac{2I}{r'} (22) 

 

Caso 2: Un solenoide infinito

En esta sección veremos el caso de un solenoide infinito con una corriente circular sobre su superficie de nI por unidad de longitud (esto es, n vueltas de alambre por unidad de longitud que transportan corriente I ).

Figura 3. Un solenoide infinito con una densidad de corriente superficial J

Es preciso definir ahora una densidad de corriente superficial, ya que no sólo tenemos un alambre con corriente, sino un arreglo del mismo alambre que transporta la misma corriente, le acuñaremos el nombre J a dicha densidad y pediremos que sea igual a la corriente por unidad de longitud sobre la superficie del solenoide –análogo eléctrico a la densidad de carga superficial σ0– La magnitud de J es nI y sus componentes, de acuerdo con la figura 3 son

J_{x}= -J\,\sin{\phi}, \;\;\;\;\;J_{x}= J\,\cos{\phi}, \;\;\;\;\;J_{z}=0

Ahora encontraremos el potencial vectorial de tal distribución de corriente. Empezamos con el potencial vectorial fuera del solenoide. El resultado electrostático indica que para una carga superficial

\sigma= \sigma_{0}\,\sin{\phi}

Con σ0 = J / c2, el potencial eléctrico es proporcional a lnr. Si nos movemos en la dirección del eje y vemos que

\phi \varpropto \frac{\partial \ln{r'}}{\partial y}= \frac{y}{r^{'2}}

Así que la componente Ax del potencial vectorial es

A_{x}=-K\frac{y}{r^{'2}}

Donde K es alguna constante que por el momento no nos interesa calcular. Siguiendo el mismo razonamiento encontramos que

 

A_{y}=-K\frac{x}{r^{'2}}

Pero surge una cuestión delicada: anteriormente se había dicho que no puede existir campo magnético fuera de un solenoide, para este potencial que se acaba de encontrar, ¿su rotacional será cero?

Dado que el campo magnético de un solenoide apunta hacia arriba, no posee componentes Bx ni By, entonces son ambas cero, quedando

B_{z}= \frac{\partial}{\partial x}(K\frac{x}{r^{'2}})- \frac{\partial}{\partial y} (-K \frac{y}{r^{'2}})

 

 = K (\frac{1}{r^{'2}} - \frac{2x^{2}}{r^{'4}} + \frac{1}{r^{'2}}- \frac{2 y^{2}}{r^{'4}})=0

Así que el campo magnético de un solenoide infinito sigue siendo cero, ¡aún cuando su potencial vectorial no lo sea! Sorprendente.

Ahora podemos checar algo más: de acuerdo con la ecuación (12)

  \oint_{\Gamma}\vec{A} \cdot d\vec{s} = \int_{superficie\;de\;\Gamma}\vec{B} \cdot  d\vec{s} (12) 

 

tomando una trayectoria circular y como previamente se vio que el campo magnético dentro de un solenoide es nI / ε0c2 entonces

A \cdot 2 \pi r' = \pi a^{2} \frac{nI}{\epsilon_{0} c^{2}}

Pero arriba vimos que

\vec{A} = -K\frac{y}{r^{'2}} + K\frac{x}{r^{'2}}

|\vec{A}| = \sqrt{(-K\frac{y}{r^{'2}})^{2} + (K\frac{x}{r^{'2}})^{2}}= \frac{k}{r^{'2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}

A= \frac{K}{r^{'}}

Por lo que

2 \pi K = \pi a^{2} \frac{nI}{\epsilon_{0} c^{2}}

K= \frac{n I a^{2}}{2 \epsilon_{0} c^{2}}

Así que el potencial vectorial fuera del solenoide tiene magnitud

  A=\frac{n I a^{2}}{2 \epsilon_{0} c^{2}} \frac{1}{r'} (23) 

 

Y siempre es perpendicular al vector r’

 

Caso 3: Un circuito pequeño

Pensemos en que, por azares del destino, tenemos sobre nuestra mesa de trabajo un pequeño rectángulo de alambre por el cual circula una corriente eléctrica constante en dirección contraria a las manecillas del reloj. Después de pasar horas vislumbrando tan maravilloso objeto, obra del intelecto humano, surge en lo más profundo de nuestra mente la cuestión de que si ahora mismo estuviéramos en la luna, ¿qué sería del campo magnético producido por ese loop de corriente?

Figura 4. Un loop rectangular de alambre con corriente I. ¿Cuál será el campo magnético en el putn P?

Unos minutos más tarde, ya que hayamos salido de tal descomunal trance filosófico, escogemos un sistema de coordenadas como el mostrado en la figura 4 y apreciamos que pase lo que pase, no habrá componentes del potencial vectorial en la dirección del eje z. Apelamos a nuestro espíritu científico de observación por tal importante descubrimiento y volvemos a la mesa de trabajo. Es entonces cuando recordamos que en nuestra libreta de apuntes de electrostática vimos que el potencial entre dos alambres cargados es

  \phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{p \cdot e_{R}}{R^{2}} (24) 

 

Notamos que p es el momento dipolar de la distribución de carga y que para este caso, es igual a la carga total sobre uno de los alambres multiplicada por la separación entre ellos:

p = λab

Figura 5. Un loop rectangular de alambre con corriente I. ¿Cuál será el campo magnético en el punto P?

¡Genios! La misma expresión se puede usar para corrientes ya que como se ve en la figura la solución para la componente Ax del potencial vectorial consiste en poner el momento dipolar en función de la corriente que pasa sobre los dos alambres paralelos al eje x.

Guardamos silencio un poco y pensamos: en todo momento, dicho momento dipolar apunta hacia donde esta la carga positiva ver figura 5), así que aquí apuntará hacia el eje y negativo… por lo tanto, el coseno del ángulo entre la distancia R a un punto cualquiera P y el vector del momento dipolar es, por trigonometría, igual a –y/R, así que

\phi= - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\lambda a b}{R^{2}} \frac{y}{R}

Casi estamos, sólo falta poner a la carga total lambda en función de la corriente, que como se vio al iniciar el capítulo, es igual a λ = I / c2 (recordar ρ = j / c2)

  A_{x} = - \frac{I ab}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{y}{R^{3}} (25) 

 

Fantástico, ahora, por el mismo razonamiento, tiene que ser que:

  A_{y} = - \frac{I ab}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{x}{R^{3}} (26) 

 

No cabe duda que nos esta brillando la mente. Notamos enseguida que Ay y Ax son proporcionales a x y a y si tomamos la magnitud del potencial, por lo que a grandes distancias -como originalmente queremos, en la luna- el potencial vectorial gira alrededor del eje z en el mismo sentido que la corriente I (ver figura 6)

Figura 6. El vector potencial de un pequeño circuito en el origen (en el plano x-y) da el campo dipolar magnético

¿Qué otras sorpresas nos tiene la vida? La intensidad de A es proporcional a la cantidad Iab, que no es otra cosa que el momento dipolar magnético representado por

μ = Iab

Y en general, el momento dipolar de cualquier forma que un loop pudiera tener esta dado por

\mu = I (area\;del\; loop)

¿Qué nos falta para sentirnos plenos en la vida? Podemos poner nuestra ecuación del potencial vectorial en forma meramente vectorial, así al menos garantizamos estética: definimos nuestro momento magnético –momento dipolar magnético- que sea normal al plano del loop, positivo apuntando hacia arriba, por lo tanto

  \vec{A}= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{\vec{\mu} \times \vec{R}}{R^{3}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{\vec{\mu} \times \vec{e_{R}}}{R^{2}} (27) 

 

Ya hemos encontrado la expresión que buscábamos, ahora, a encontrar el campo magnético generado:

 

\vec{B}=\nabla \times \vec{A}

Por componentes,

 

B_{x}= - \frac{\partial}{\partial z} \frac{\mu}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{x}{R^{3}}= \frac{\mu}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{3xz}{R^{5}}

B_{y}=  \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\mu}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{y}{R^{3}})= \frac{\mu}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{3yz}{R^{5}}

B_{z}= \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\mu}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{x}{R^{3}}) - \frac{\partial}{\partial y} (-\frac{\mu}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \frac{y}{R^{3}})

 = \frac{\mu}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} (\frac{1}{r^{3}} - \frac{3z^{2}}{r^{5}})

Al terminar de ver ciento ochenta y cuatro veces tales expresiones, estamos convencidos que las componentes de B se parecen mucho a las ecuaciones de un dipolo eléctrico orientado sobre el eje z. ¡Claro, por eso le llamamos dipolo magnético!

Cabe señalar, que estrictamente, la palabra dipolo no tiene mucho sentido, si contrastamos el hecho para el caso magnético, no existan polos asociados a cargas como en el caso eléctrico, en sí, el campo dipolar magnético no es producido por dos cargas sino por un arreglo geométrico elemental de corriente.

¡Qué curioso que comenzando con dos leyes totalmente diferentes

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}

\nabla \times \vec{B} = \frac{\vec{j}}{\epsilon_{0}c^{2}}

terminemos con la misma especie de campo! ¿Por qué debería de ser?

 

 

El Potencial Vectorial de un circuito (otra vez)

¿Qué pasa con el potencial vectorial para un circuito cualquiera? A primera vista nos interesa el comportamiento a grandes distancias, esto es, lo que pasa cuando el diámetro del circuito sea mucho muy menor comparado con las dimensiones de todo el sistema –la distancia a la que se mide- así pues, se podrán simplificar las ecuaciones para el campo magnético.

Figura 7. Para un alambre fino, j\,dv es lo mismo que I\,ds

Si estamos trabajando con elementos de circuito en forma de alambres, conviene cambiar o reescribir el diferencial de volumen a

d V = S \,d s

donde S es el área de la sección transversal del alambre y ds es el elemento diferencial de distancia en el alambre (ver figura 7). Como la densidad de corriente se traslada por dicho alambre, tendrá la misma dirección que el diferencial ds, por lo que

j\,dV=jS\,ds

pero es precisamente jS lo que llamamos corriente I (recordar que I=\int j\,da = jS) por lo que la integral para el potencial vectorial se convierte en

  A(1)= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \frac{I\,ds}{r_{12}} (28) 

 

(ver figura ocho) Para este ejemplo asumimos que I es la misma a través del circuito, pero si llegaran a existir varios lazos dentro del mismo con diferente corriente, debemos usar la corriente apropiada en cada parte del circuito.

Figura 8.El campo magnético de un alambre puede ser obtenido de una integral alrededor del circuito.

Les fabuleux Biot et Savart

En la vida hay cosas buenas y malas, caminos cortos y caminos largos, como por ejemplo, el camino largo y tortuoso que utilizó Caperucita Roja para llegar a la casa de su abuelita mientras que el lobo se fue por el camino corto y llegó antes que ella, lo demás claro, es puro cuento. En electrostática, para saber el campo eléctrico de una distribución conocida de cargas utilizamos la expresión

E(1)= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int \frac{\rho(2) e_{12}\,dV_{2}}{r_{12}^{2}}

que en realidad es más trabajo ya que para evaluarla, ésta esconde tres integrales, una por cada componente, mientras que otro camino puede ser el de integrar el potencial y luego tomar su gradiente.

Existe en la teoría electrostática, una expresión similar que relaciona campos magnéticos con corrientes eléctricas en una sola ecuación. De la fórmula del potencial vectorial y la densidad de corriente

  \vec{A}(1)= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \frac{\vec{j}(2)dv_{2}}{r_{12}} (20) 

 

tomamos el rotacional en ambos lados y obtenemos

  \vec{B}= \nabla \times \vec{A}(1)= \nabla \times [\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \frac{\vec{j}(2)dv_{2}}{r_{12}}] (29) 

 

Ya sabemos hacer cirugías operacionales, por lo que hay que tener cuidado en que el operador rotacional trabaje sólo con las coordenadas del punto 1, esto es, con (x1,y1,z1), por lo que podemos introducir \nabla \times dentro de la integral si respetamos tales variables

  r12 = [(x1x2)2 + (y1y2)2 + (z1z2)2]1 / 2 (30) 

 

Así, para la componente Bx tenemos

B_{x}= \frac{\partial A_{x}}{\partial y_{1}} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z_{1}}

= \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int [j_{z} \frac{\partial}{\partial y_{1}} (\frac{1}{r_{12}}) - j_{y} \frac{\partial}{\partial z_{1}} (\frac{1}{r_{12}})] dV_{2}

= - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int [j_{z} \frac{y_{1}-y_{2}}{r_{12}^{3}} - j_{y} \frac{z_{1}-z_{2}}{r_{12}^{3}}] dV_{2}

La cantidad entre corchetes corresponde a la componente x de

 

  \frac{\vec{j} \times \vec{r_{12}}}{r_{12}^{3}}= \frac{\vec{j} \times \vec{e_{12}}}{r_{12}^{2}} (31) 

 
Si hacemos lo mismo para las otras dos componentes restantes, tenemos

  \vec{B}(1) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \frac{\vec{j} \times \vec{e_{12}}}{r_{12}^{2}} dV_{2} (32) 

 

Ahora bien, si las corrientes existen solamente en circuitos de pequeños alambres –un caso especial- podemos hacer el truco de la sección pasada reemplazando j\,dV por I\,ds, donde ds es un elemento diferencial de longitud de alambre, por lo tanto

  \vec{B}(1) = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} c^{2}} \int \frac{I \vec{e_{12}} \times d\vec{s_{2}}}{r_{12}^{2}} dV_{2} (33) 

 

El signo menos aparece porque se intercambió el orden del producto cruz, ya que este es no-conmutativo. Ésta ecuación para B es la famosa ley de Biot & Savart, debida a sus descubridores franceses -allá por principios de los 1800- y da una fórmula para obtener directamente campos magnéticos producidos por alambres que llevan corrientes.

Conclusión: ¿Cuál es la ventaja de usar el potencial vectorial si podemos encontrar B directamente con una integral vectorial? Después de todo, el potencial también involucra ¡tres integrales! Analizando la situación, vemos que debido al producto cruz dentro de la ley de Biot- Savart, éstas integrales son un tanto más complicadas como lo evidencia la ecuación (31) Además, como algunas de las integrales para el potencial vectorial poseen análogo electrostático, como se vio en los tres ejemplos de casos especiales, prácticamente sabemos todo. Y para finalizar con este dilema, como se verá en cuestiones más avanzadas dentro de la física –relatividad, mecánica teórica, mecánica cuántica- el potencial vectorial juega un papel importante, así que conviene familiarizarnos con él.

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